Ekstensi grup

Dalam matematika, ekstensi grup adalah cara umum untuk mendeskripsikan grup dalam istilah subgrup normal dan grup hasil bagi tertentu. Jika Q dan N adalah dua grup, maka G adalah ekstensi dari Q oleh N jika ada barisan eksak pendek.

${\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.}$

Jika G adalah perpanjangan dari Q oleh N , maka G adalah grup, ${\displaystyle \iota (N)}$ adalah subgrup normal dari G dan grup hasil bagi ${\displaystyle G/\iota (N)}$ adalah isomorfik ke grup Q . Ekstensi grup muncul dalam konteks masalah ekstensi, dimana grup Q dan N diketahui dan properti dari G harus ditentukan. Perhatikan bahwa frase " G merupakan perpanjangan dari N oleh Q " juga digunakan oleh beberapa orang.^[1]

Karena grup hingga G memiliki maksimal subgrup normal N dengan grup faktor sederhana G/N, semua grup hingga dapat dibangun sebagai serangkaian ekstensi dengan grup sederhana hingga. Fakta ini menjadi motivasi untuk menyelesaikan klasifikasi grup sederhana hingga.

Sebuah ekstensi disebut ekstensi pusat jika subgrup N terletak di pusat dari G.

1. ^ group+extension#Definition di nLab Remark 2.2.